Andrzej Mielęcki urodził się 30 listopada 1864 roku w majątku Hucisko koło Piotrkowa. Dzieciństwo i młodość spędził w Koźminku pod Kaliszem. Po odbyciu studiów medycznych na niemieckich uczelniach (w Berlinie, Monachium i Lipsku) oraz po krótkiej pracy w Saksonii i Zagłębiu Dąbrowskim, w 1899 roku osiedlił się w Katowicach, gdzie prowadził prywatną praktykę lekarską i działał aktywnie w polskich organizacjach społecznych.
W 1908 roku był współzałożycielem, członkiem, a następnie przewodniczącym Towarzystwa Lekarzy Polaków na Śląsku. Należał także do Towarzystwa Szerzenia Elementarzy Polskich na Śląsku, Komitetu Wykładów Ludowych im. Adama Mickiewicza i Towarzystwa Czytelni Ludowych. Reprezentował ludność polską w Centralnym Komitecie Pomocy dla Dzieci w Katowicach, który we współpracy z amerykańskimi organizacjami charytatywnymi organizował pomoc dla dzieci po powstaniu 1919 roku. Jako pierwszy Polak otrzymał od władz niemieckich tytuł radcy sanitarnego.
Działalność społeczną i narodową prowadził także w czasie Wielkiej Wojny. W 1918 roku został członkiem Powiatowej Rady Ludowej w Katowicach; od 1919 roku w ramach przygotowań do walk powstańczych prowadził konspiracyjne kursy sanitarne w Polskiej Organizacji Wojskowej Górnego Śląska, zajmował się też sprowadzaniem broni z Polski na obszar plebiscytowy. W 1920 roku został członkiem Polskiego Komitetu Plebiscytowego w Katowicach. Jego zaangażowanie w przygotowania do plebiscytu wywołały wielką niechęć Niemców, którzy nazwali go „wielkim polskim agitatorem”.
Doktor Mielęcki, wierny lekarskiej przysiędze, zginął na posterunku, niosąc pomoc osobom rannym w antypolskich zamieszkach zorganizowanych przez Niemców w Katowicach w dniu 17 sierpnia 1920 roku. Został zamordowany przez niemieckich bojówkarzy, a jego skatowane ciało wrzucono do rzeki Rawy.
W dniu 25 sierpnia 1920 roku w Sosnowcu odbyło się nabożeństwo żałobne, po czym trumna z ciałem doktora Mielęckiego została przewieziona do Wielkopolski i pochowana w grobie rodzinnym na cmentarzu w Złotnikach koło Koźminka.
Śmierć doktora Andrzeja Mielęckiego była niepowetowaną stratą dla mieszkańców Górnego Śląska. Utracili w jego osobie powszechnie szanowanego, wrażliwego na los pacjentów lekarza oraz aktywnego działacza społecznego i narodowego.